Datrys {l}{3x+4y=1}{4x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 4 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{7}{13}\approx 0.538461538$$

$$y=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+4y=1$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-4y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -4y+1.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Amnewid \frac{-4y+1}{3} am x yn yr hafaliad arall, 4x+y=2.

$$4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+y=2$$

Lluoswch 4 â \frac{-4y+1}{3}.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{4}{3}+y=2$$

Adio -\frac{16y}{3} at y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{4}{3}=2$$

Tynnu \frac{4}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{13}{3}y=\frac{2}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{13}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{2}{13}$$

Cyfnewidiwch -\frac{2}{13} am y yn x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{2}{13}\right)+\frac{1}{3}$$

Lluoswch -\frac{4}{3} â -\frac{2}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{8}{39}+\frac{1}{3}$$

Adio \frac{1}{3} at \frac{8}{39} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{7}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 4}&-\frac{4}{3-4\times 4}\\-\frac{4}{3-4\times 4}&\frac{3}{3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}+\frac{4}{13}\times 2\\\frac{4}{13}-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\\-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

I wneud 3x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4,3\times 4x+3y=3\times 2$$

Symleiddio.

$$12x+16y=4,12x+3y=6$$

Tynnwch 12x+3y=6 o 12x+16y=4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+16y-3y=4-6$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$16y-3y=4-6$$

Adio 16y at -3y.

$$13y=4-6$$

Adio 4 at -6.

$$13y=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 13.

$$y=-\frac{2}{13}$$

Cyfnewidiwch -\frac{2}{13} am y yn 4x+y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-\frac{2}{13}=2$$

Adio \frac{2}{13} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{28}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{7}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$