Datrys {l}{3x+4y=-4}{4x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{36}{7} = 5\frac{1}{7} \approx 5.142857143$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+4y=-4$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-4y-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -4y-4.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}$$

Amnewid \frac{-4y-4}{3} am x yn yr hafaliad arall, 4x+3y=6.

$$4\left(-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}\right)+3y=6$$

Lluoswch 4 â \frac{-4y-4}{3}.

$$-\frac{16}{3}y-\frac{16}{3}+3y=6$$

Adio -\frac{16y}{3} at 3y.

$$-\frac{7}{3}y-\frac{16}{3}=6$$

Adio \frac{16}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{7}{3}y=\frac{34}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{7}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{34}{7} am y yn x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{34}{7}\right)-\frac{4}{3}$$

Lluoswch -\frac{4}{3} â -\frac{34}{7} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{136}{21}-\frac{4}{3}$$

Adio -\frac{4}{3} at \frac{136}{21} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{36}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}&\frac{3}{3\times 3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\left(-4\right)+\frac{4}{7}\times 6\\\frac{4}{7}\left(-4\right)-\frac{3}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

I wneud 3x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\left(-4\right),3\times 4x+3\times 3y=3\times 6$$

Symleiddio.

$$12x+16y=-16,12x+9y=18$$

Tynnwch 12x+9y=18 o 12x+16y=-16 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+16y-9y=-16-18$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$16y-9y=-16-18$$

Adio 16y at -9y.

$$7y=-16-18$$

Adio -16 at -18.

$$7y=-34$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{34}{7} am y yn 4x+3y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+3\left(-\frac{34}{7}\right)=6$$

Lluoswch 3 â -\frac{34}{7}.

$$4x-\frac{102}{7}=6$$

Adio \frac{102}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{144}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{36}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$