Datrys {l}{3x+4=y}{9x-5=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 = y } \\ { 9 x - 5 = y } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2} = 8.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$3x+4-y=0$$

Tynnu 4 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$3x-y=-4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$9x-5-y=0$$

Ychwanegu 5 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$9x-y=5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-y=-4$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=y-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â y-4.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}$$

Amnewid \frac{-4+y}{3} am x yn yr hafaliad arall, 9x-y=5.

$$9\left(\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}\right)-y=5$$

Lluoswch 9 â \frac{-4+y}{3}.

$$3y-12-y=5$$

Adio 3y at -y.

$$2y-12=5$$

Adio 12 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=17$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=\frac{17}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{17}{2} am y yn x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{17}{2}-\frac{4}{3}$$

Lluoswch \frac{1}{3} â \frac{17}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{17}{6}-\frac{4}{3}$$

Adio -\frac{4}{3} at \frac{17}{6} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$3x+4-y=0$$

Tynnu 4 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$3x-y=-4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$9x-5-y=0$$

Ychwanegu 5 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$9x-y=5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 5\\-\frac{3}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$3x+4-y=0$$

Tynnu 4 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$3x-y=-4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$9x-5-y=0$$

Ychwanegu 5 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$9x-y=5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Tynnwch 9x-y=5 o 3x-y=-4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-9x-y+y=-4-5$$

Adio -y at y. Mae'r termau -y a y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3x-9x=-4-5$$

Adio 3x at -9x.

$$-6x=-4-5$$

Adio -4 at -5.

$$-6x=-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{3}{2} am x yn 9x-y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$9\times \frac{3}{2}-y=5$$

Lluoswch 9 â \frac{3}{2}.

$$\frac{27}{2}-y=5$$

Tynnu \frac{27}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=-\frac{17}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=\frac{17}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$