Datrys {l}{3x+2y-7=0}{4x+y-6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y - 7 = 0 } \\ { 4 x + y - 6 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+2y-7=0,4x+y-6=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+2y-7=0$$

Adio 7 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x+2y=7$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-2y+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Amnewid \frac{-2y+7}{3} am x yn yr hafaliad arall, 4x+y-6=0.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y-6=0$$

Lluoswch 4 â \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}+y-6=0$$

Adio -\frac{8y}{3} at y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{28}{3}-6=0$$

Adio \frac{28}{3} at -6.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=0$$

Tynnu \frac{10}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{5}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â 2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

Adio \frac{7}{3} at -\frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+2y-7=0,4x+y-6=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{3}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 6\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+2y-7=0,4x+y-6=0$$

I wneud 3x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$4\times 3x+4\times 2y+4\left(-7\right)=0,3\times 4x+3y+3\left(-6\right)=0$$

Symleiddio.

$$12x+8y-28=0,12x+3y-18=0$$

Tynnwch 12x+3y-18=0 o 12x+8y-28=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+8y-3y-28+18=0$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8y-3y-28+18=0$$

Adio 8y at -3y.

$$5y-28+18=0$$

Adio -28 at 18.

$$5y-10=0$$

Adio 10 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 4x+y-6=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+2-6=0$$

Adio 2 at -6.

$$4x-4=0$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$