Datrys {l}{3x+2y=5}{2x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 5 } \\ { 2 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+2y=5$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-2y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2y+5.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Amnewid \frac{-2y+5}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x-y=-3.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=-3$$

Lluoswch 2 â \frac{-2y+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-y=-3$$

Adio -\frac{4y}{3} at -y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}=-3$$

Tynnu \frac{10}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{19}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{7}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{19}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{19}{7} am y yn x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{19}{7}+\frac{5}{3}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â \frac{19}{7} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{38}{21}+\frac{5}{3}$$

Adio \frac{5}{3} at -\frac{38}{21} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5+\frac{2}{7}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$6x+4y=10,6x-3y=-9$$

Tynnwch 6x-3y=-9 o 6x+4y=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+4y+3y=10+9$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y+3y=10+9$$

Adio 4y at 3y.

$$7y=10+9$$

Adio 10 at 9.

$$7y=19$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=\frac{19}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{19}{7} am y yn 2x-y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-\frac{19}{7}=-3$$

Adio \frac{19}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-\frac{2}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-\frac{1}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$