Datrys {l}{3x+2y=32}{-x+3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { - x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=6$$

$$y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+2y=32$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-2y+32$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Amnewid \frac{-2y+32}{3} am x yn yr hafaliad arall, -x+3y=15.

$$-\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+3y=15$$

Lluoswch -1 â \frac{-2y+32}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{32}{3}+3y=15$$

Adio \frac{2y}{3} at 3y.

$$\frac{11}{3}y-\frac{32}{3}=15$$

Adio \frac{32}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{11}{3}y=\frac{77}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{11}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{32}{3}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â 7.

$$x=\frac{-14+32}{3}$$

Adio \frac{32}{3} at -\frac{14}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 3-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 32-\frac{2}{11}\times 15\\\frac{1}{11}\times 32+\frac{3}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=6,y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

I wneud 3x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-3x-2y=-32,3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 15$$

Symleiddio.

$$-3x-2y=-32,-3x+9y=45$$

Tynnwch -3x+9y=45 o -3x-2y=-32 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3x+3x-2y-9y=-32-45$$

Adio -3x at 3x. Mae'r termau -3x a 3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y-9y=-32-45$$

Adio -2y at -9y.

$$-11y=-32-45$$

Adio -32 at -45.

$$-11y=-77$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn -x+3y=15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+3\times 7=15$$

Lluoswch 3 â 7.

$$-x+21=15$$

Tynnu 21 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=7$$