Datrys {l}{3x+2y=-8}{-x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { - x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+2y=-8$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-2y-8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2y-8.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

Amnewid \frac{-2y-8}{3} am x yn yr hafaliad arall, -x-2y=12.

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)-2y=12$$

Lluoswch -1 â \frac{-2y-8}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-2y=12$$

Adio \frac{2y}{3} at -2y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}=12$$

Tynnu \frac{8}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{4}{3}y=\frac{28}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{4}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-7$$

Cyfnewidiwch -7 am y yn x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-7\right)-\frac{8}{3}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â -7.

$$x=\frac{14-8}{3}$$

Adio -\frac{8}{3} at \frac{14}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{4}\left(-8\right)-\frac{3}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

I wneud 3x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-3x-2y=-\left(-8\right),3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Symleiddio.

$$-3x-2y=8,-3x-6y=36$$

Tynnwch -3x-6y=36 o -3x-2y=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3x+3x-2y+6y=8-36$$

Adio -3x at 3x. Mae'r termau -3x a 3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y+6y=8-36$$

Adio -2y at 6y.

$$4y=8-36$$

Adio 8 at -36.

$$4y=-28$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=-7$$

Cyfnewidiwch -7 am y yn -x-2y=12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x-2\left(-7\right)=12$$

Lluoswch -2 â -7.

$$-x+14=12$$

Tynnu 14 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=-7$$