Datrys {l}{3x+10y=5}{20x+5y=100}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 5 } \\ { 20 x + 5 y = 100 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{195}{37} = 5\frac{10}{37} \approx 5.27027027$$

$$y = -\frac{40}{37} = -1\frac{3}{37} \approx -1.081081081$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+10y=5,20x+5y=100$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+10y=5$$

Tynnu 10y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-10y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -10y+5.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{5}{3}$$

Amnewid \frac{-10y+5}{3} am x yn yr hafaliad arall, 20x+5y=100.

$$20\left(-\frac{10}{3}y+\frac{5}{3}\right)+5y=100$$

Lluoswch 20 â \frac{-10y+5}{3}.

$$-\frac{200}{3}y+\frac{100}{3}+5y=100$$

Adio -\frac{200y}{3} at 5y.

$$-\frac{185}{3}y+\frac{100}{3}=100$$

Tynnu \frac{100}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{185}{3}y=\frac{200}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{185}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{40}{37}$$

Cyfnewidiwch -\frac{40}{37} am y yn x=-\frac{10}{3}y+\frac{5}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{10}{3}\left(-\frac{40}{37}\right)+\frac{5}{3}$$

Lluoswch -\frac{10}{3} â -\frac{40}{37} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{400}{111}+\frac{5}{3}$$

Adio \frac{5}{3} at \frac{400}{111} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{195}{37}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{195}{37},y=-\frac{40}{37}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+10y=5,20x+5y=100$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\100\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&10\\20&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\100\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\100\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\100\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-10\times 20}&-\frac{10}{3\times 5-10\times 20}\\-\frac{20}{3\times 5-10\times 20}&\frac{3}{3\times 5-10\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\100\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{37}&\frac{2}{37}\\\frac{4}{37}&-\frac{3}{185}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\100\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{37}\times 5+\frac{2}{37}\times 100\\\frac{4}{37}\times 5-\frac{3}{185}\times 100\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{195}{37}\\-\frac{40}{37}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{195}{37},y=-\frac{40}{37}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+10y=5,20x+5y=100$$

I wneud 3x a 20x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 20 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$20\times 3x+20\times 10y=20\times 5,3\times 20x+3\times 5y=3\times 100$$

Symleiddio.

$$60x+200y=100,60x+15y=300$$

Tynnwch 60x+15y=300 o 60x+200y=100 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$60x-60x+200y-15y=100-300$$

Adio 60x at -60x. Mae'r termau 60x a -60x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$200y-15y=100-300$$

Adio 200y at -15y.

$$185y=100-300$$

Adio 100 at -300.

$$185y=-200$$

Rhannu’r ddwy ochr â 185.

$$y=-\frac{40}{37}$$

Cyfnewidiwch -\frac{40}{37} am y yn 20x+5y=100. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$20x+5\left(-\frac{40}{37}\right)=100$$

Lluoswch 5 â -\frac{40}{37}.

$$20x-\frac{200}{37}=100$$

Adio \frac{200}{37} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$20x=\frac{3900}{37}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 20.

$$x=\frac{195}{37}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{195}{37},y=-\frac{40}{37}$$