Datrys {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer w, z

$$z=5$$

$$w=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer w drwy ynysu w ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3w-2z=5$$

Adio 2z at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3w=2z+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 2z+5.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

Amnewid \frac{2z+5}{3} am w yn yr hafaliad arall, w+2z=15.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

Adio \frac{2z}{3} at 2z.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

Tynnu \frac{5}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{8}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$z=5$$

Cyfnewidiwch 5 am z yn w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer w yn uniongyrchol.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

Lluoswch \frac{2}{3} â 5.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

Adio \frac{5}{3} at \frac{10}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$w=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$w=5,z=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics w a z.

$$w=5,z=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

I wneud 3w a w yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

Symleiddio.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

Tynnwch 3w+6z=45 o 3w-2z=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

Adio 3w at -3w. Mae'r termau 3w a -3w yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2z-6z=5-45$$

Adio -2z at -6z.

$$-8z=5-45$$

Adio 5 at -45.

$$-8z=-40$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$z=5$$

Cyfnewidiwch 5 am z yn w+2z=15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer w yn uniongyrchol.

$$w+2\times 5=15$$

Lluoswch 2 â 5.

$$w+10=15$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$w=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$w=5,z=5$$