Datrys {l}{3u+z=15}{u+2z=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer u, z

$$z=3$$

$$u=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer u drwy ynysu u ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3u+z=15$$

Tynnu z o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3u=-z+15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -z+15.

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

Amnewid -\frac{z}{3}+5 am u yn yr hafaliad arall, u+2z=10.

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

Adio -\frac{z}{3} at 2z.

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

Tynnu 5 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{3}z=5$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$z=3$$

Cyfnewidiwch 3 am z yn u=-\frac{1}{3}z+5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer u yn uniongyrchol.

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â 3.

$$u=-1+5$$

Adio 5 at -1.

$$u=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$u=4,z=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics u a z.

$$u=4,z=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

I wneud 3u a u yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

Symleiddio.

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

Tynnwch 3u+6z=30 o 3u+z=15 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

Adio 3u at -3u. Mae'r termau 3u a -3u yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$z-6z=15-30$$

Adio z at -6z.

$$-5z=15-30$$

Adio 15 at -30.

$$-5z=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$z=3$$

Cyfnewidiwch 3 am z yn u+2z=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer u yn uniongyrchol.

$$u+2\times 3=10$$

Lluoswch 2 â 3.

$$u+6=10$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$u=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$u=4,z=3$$