Datrys {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer u, x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer u drwy ynysu u ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3u+5x=8$$

Tynnu 5x o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3u=-5x+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -5x+8.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

Amnewid \frac{-5x+8}{3} am u yn yr hafaliad arall, 5u+5x=14.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

Lluoswch 5 â \frac{-5x+8}{3}.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

Adio -\frac{25x}{3} at 5x.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

Tynnu \frac{40}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{10}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{5} am x yn u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer u yn uniongyrchol.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

Lluoswch -\frac{5}{3} â -\frac{1}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

Adio \frac{8}{3} at \frac{1}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$u=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics u a x.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Tynnwch 5u+5x=14 o 3u+5x=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

Adio 5x at -5x. Mae'r termau 5x a -5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3u-5u=8-14$$

Adio 3u at -5u.

$$-2u=8-14$$

Adio 8 at -14.

$$-2u=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$u=3$$

Cyfnewidiwch 3 am u yn 5u+5x=14. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5\times 3+5x=14$$

Lluoswch 5 â 3.

$$15+5x=14$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$