Datrys {l}{3t-2u=7}{9t-5u=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 t - 2 u = 7 } \\ { 9 t - 5 u = 18 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer t, u

$$t=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$u=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer t drwy ynysu t ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3t-2u=7$$

Adio 2u at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3t=2u+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$t=\frac{1}{3}\left(2u+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 2u+7.

$$t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}$$

Amnewid \frac{2u+7}{3} am t yn yr hafaliad arall, 9t-5u=18.

$$9\left(\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}\right)-5u=18$$

Lluoswch 9 â \frac{2u+7}{3}.

$$6u+21-5u=18$$

Adio 6u at -5u.

$$u+21=18$$

Tynnu 21 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$u=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am u yn t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer t yn uniongyrchol.

$$t=\frac{2}{3}\left(-3\right)+\frac{7}{3}$$

Lluoswch \frac{2}{3} â -3.

$$t=-2+\frac{7}{3}$$

Adio \frac{7}{3} at -2.

$$t=\frac{1}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 18\\-3\times 7+18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics t a u.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

I wneud 3t a 9t yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 9 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$9\times 3t+9\left(-2\right)u=9\times 7,3\times 9t+3\left(-5\right)u=3\times 18$$

Symleiddio.

$$27t-18u=63,27t-15u=54$$

Tynnwch 27t-15u=54 o 27t-18u=63 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$27t-27t-18u+15u=63-54$$

Adio 27t at -27t. Mae'r termau 27t a -27t yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-18u+15u=63-54$$

Adio -18u at 15u.

$$-3u=63-54$$

Adio 63 at -54.

$$-3u=9$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$u=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am u yn 9t-5u=18. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer t yn uniongyrchol.

$$9t-5\left(-3\right)=18$$

Lluoswch -5 â -3.

$$9t+15=18$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9t=3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$t=\frac{1}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$