Datrys {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer c, z

$$z=-3$$

$$c=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer c drwy ynysu c ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3c+5z=-15$$

Tynnu 5z o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3c=-5z-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -5z-15.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

Amnewid -\frac{5z}{3}-5 am c yn yr hafaliad arall, 5c+3z=-9.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

Lluoswch 5 â -\frac{5z}{3}-5.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

Adio -\frac{25z}{3} at 3z.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

Adio 25 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{16}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$z=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am z yn c=-\frac{5}{3}z-5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer c yn uniongyrchol.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

Lluoswch -\frac{5}{3} â -3.

$$c=5-5$$

Adio -5 at 5.

$$c=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$c=0,z=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics c a z.

$$c=0,z=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

I wneud 3c a 5c yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

Symleiddio.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

Tynnwch 15c+9z=-27 o 15c+25z=-75 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

Adio 15c at -15c. Mae'r termau 15c a -15c yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$25z-9z=-75+27$$

Adio 25z at -9z.

$$16z=-75+27$$

Adio -75 at 27.

$$16z=-48$$

Rhannu’r ddwy ochr â 16.

$$z=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am z yn 5c+3z=-9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer c yn uniongyrchol.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

Lluoswch 3 â -3.

$$5c-9=-9$$

Adio 9 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5c=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$c=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$c=0,z=-3$$