Datrys {l}{3c+2x=5}{2c+4x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer c, x

$$x=1$$

$$c=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer c drwy ynysu c ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3c+2x=5$$

Tynnu 2x o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3c=-2x+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2x+5.

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

Amnewid \frac{-2x+5}{3} am c yn yr hafaliad arall, 2c+4x=6.

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

Lluoswch 2 â \frac{-2x+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

Adio -\frac{4x}{3} at 4x.

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

Tynnu \frac{10}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{8}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=1$$

Cyfnewidiwch 1 am x yn c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer c yn uniongyrchol.

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

Adio \frac{5}{3} at -\frac{2}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$c=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$c=1,x=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics c a x.

$$c=1,x=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

I wneud 3c a 2c yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

Symleiddio.

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

Tynnwch 6c+12x=18 o 6c+4x=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

Adio 6c at -6c. Mae'r termau 6c a -6c yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4x-12x=10-18$$

Adio 4x at -12x.

$$-8x=10-18$$

Adio 10 at -18.

$$-8x=-8$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$x=1$$

Cyfnewidiwch 1 am x yn 2c+4x=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer c yn uniongyrchol.

$$2c+4=6$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2c=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$c=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$c=1,x=1$$