Datrys {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3a+b=-3$$

Tynnu b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3a=-b-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -b-3.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

Amnewid -\frac{b}{3}-1 am a yn yr hafaliad arall, 2a-b=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

Lluoswch 2 â -\frac{b}{3}-1.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

Adio -\frac{2b}{3} at -b.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{5}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3}{5} am b yn a=-\frac{1}{3}b-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -\frac{3}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

Adio -1 at \frac{1}{5}.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

I wneud 3a a 2a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

Symleiddio.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

Tynnwch 6a-3b=-3 o 6a+2b=-6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

Adio 6a at -6a. Mae'r termau 6a a -6a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2b+3b=-6+3$$

Adio 2b at 3b.

$$5b=-6+3$$

Adio -6 at 3.

$$5b=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3}{5} am b yn 2a-b=-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

Tynnu \frac{3}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$