Datrys {l}{3a+2b=2}{-2a+3b=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 2 b = 2 } \\ { - 2 a + 3 b = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$b=\frac{10}{13}\approx 0.769230769$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3a+2b=2$$

Tynnu 2b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3a=-2b+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-2b+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2b+2.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Amnewid \frac{-2b+2}{3} am a yn yr hafaliad arall, -2a+3b=2.

$$-2\left(-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}\right)+3b=2$$

Lluoswch -2 â \frac{-2b+2}{3}.

$$\frac{4}{3}b-\frac{4}{3}+3b=2$$

Adio \frac{4b}{3} at 3b.

$$\frac{13}{3}b-\frac{4}{3}=2$$

Adio \frac{4}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{13}{3}b=\frac{10}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$b=\frac{10}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{10}{13} am b yn a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-\frac{2}{3}\times \frac{10}{13}+\frac{2}{3}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â \frac{10}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=-\frac{20}{39}+\frac{2}{3}$$

Adio \frac{2}{3} at -\frac{20}{39} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=\frac{2}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 2-\frac{2}{13}\times 2\\\frac{2}{13}\times 2+\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\\frac{10}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

I wneud 3a a -2a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-2\times 3a-2\times 2b=-2\times 2,3\left(-2\right)a+3\times 3b=3\times 2$$

Symleiddio.

$$-6a-4b=-4,-6a+9b=6$$

Tynnwch -6a+9b=6 o -6a-4b=-4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-6a+6a-4b-9b=-4-6$$

Adio -6a at 6a. Mae'r termau -6a a 6a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4b-9b=-4-6$$

Adio -4b at -9b.

$$-13b=-4-6$$

Adio -4 at -6.

$$-13b=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$b=\frac{10}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{10}{13} am b yn -2a+3b=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$-2a+3\times \frac{10}{13}=2$$

Lluoswch 3 â \frac{10}{13}.

$$-2a+\frac{30}{13}=2$$

Tynnu \frac{30}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2a=-\frac{4}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$a=\frac{2}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$