Datrys {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer A, c

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer A drwy ynysu A ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3A-13c=-255$$

Adio 13c at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3A=13c-255$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 13c-255.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

Amnewid \frac{13c}{3}-85 am A yn yr hafaliad arall, 31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

Lluoswch 31 â \frac{13c}{3}-85.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

Adio \frac{403c}{3} at -6c.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

Adio 2635 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{385}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Cyfnewidiwch \frac{1473}{77} am c yn A=\frac{13}{3}c-85. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer A yn uniongyrchol.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

Lluoswch \frac{13}{3} â \frac{1473}{77} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

Adio -85 at \frac{6383}{77}.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics A a c.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

I wneud 3A a 31A yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 31 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

Symleiddio.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

Tynnwch 93A-18c=-540 o 93A-403c=-7905 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

Adio 93A at -93A. Mae'r termau 93A a -93A yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-403c+18c=-7905+540$$

Adio -403c at 18c.

$$-385c=-7905+540$$

Adio -7905 at 540.

$$-385c=-7365$$

Rhannu’r ddwy ochr â -385.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Cyfnewidiwch \frac{1473}{77} am c yn 31A-6c=-180. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer A yn uniongyrchol.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

Lluoswch -6 â \frac{1473}{77}.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

Adio \frac{8838}{77} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 31.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$