Datrys {l}{3(2x-5)+2y=-41}{x-3y/9-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - 5 ) + 2 y = - 41 } \\ { \frac { x - 3 y } { 9 } - y = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Ychwanegu 15 at y ddwy ochr.

$$6x+2y=-41+15$$

Adio -41 a 15 i gael -26.

$$6x+2y=-26$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 9.

$$x-3y-9y=45$$

Cyfuno -3y a -9y i gael -12y.

$$x-12y=45$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6x+2y=-26$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=-2y-26$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-26\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â -2y-26.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

Amnewid \frac{-y-13}{3} am x yn yr hafaliad arall, x-12y=45.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-12y=45$$

Adio -\frac{y}{3} at -12y.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{13}{3}=45$$

Adio \frac{13}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{148}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{37}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am y yn x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{13}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -4.

$$x=\frac{4-13}{3}$$

Adio -\frac{13}{3} at \frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Ychwanegu 15 at y ddwy ochr.

$$6x+2y=-41+15$$

Adio -41 a 15 i gael -26.

$$6x+2y=-26$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 9.

$$x-3y-9y=45$$

Cyfuno -3y a -9y i gael -12y.

$$x-12y=45$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{6\left(-12\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-12\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-12\right)-2}&\frac{6}{6\left(-12\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}&\frac{1}{37}\\\frac{1}{74}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}\left(-26\right)+\frac{1}{37}\times 45\\\frac{1}{74}\left(-26\right)-\frac{3}{37}\times 45\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-3,y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Ychwanegu 15 at y ddwy ochr.

$$6x+2y=-41+15$$

Adio -41 a 15 i gael -26.

$$6x+2y=-26$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 9.

$$x-3y-9y=45$$

Cyfuno -3y a -9y i gael -12y.

$$x-12y=45$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

I wneud 6x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$6x+2y=-26,6x+6\left(-12\right)y=6\times 45$$

Symleiddio.

$$6x+2y=-26,6x-72y=270$$

Tynnwch 6x-72y=270 o 6x+2y=-26 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+2y+72y=-26-270$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y+72y=-26-270$$

Adio 2y at 72y.

$$74y=-26-270$$

Adio -26 at -270.

$$74y=-296$$

Rhannu’r ddwy ochr â 74.

$$y=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am y yn x-12y=45. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-12\left(-4\right)=45$$

Lluoswch -12 â -4.

$$x+48=45$$

Tynnu 48 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=-4$$