Datrys {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer c, T

$$c=3000$$

$$T=3500$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer c drwy ynysu c ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$25c+22T=152000$$

Tynnu 22T o ddwy ochr yr hafaliad.

$$25c=-22T+152000$$

Rhannu’r ddwy ochr â 25.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

Lluoswch \frac{1}{25} â -22T+152000.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

Amnewid -\frac{22T}{25}+6080 am c yn yr hafaliad arall, 11c+12T=75000.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

Lluoswch 11 â -\frac{22T}{25}+6080.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

Adio -\frac{242T}{25} at 12T.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

Tynnu 66880 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{58}{25}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$T=3500$$

Cyfnewidiwch 3500 am T yn c=-\frac{22}{25}T+6080. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer c yn uniongyrchol.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

Lluoswch -\frac{22}{25} â 3500.

$$c=-3080+6080$$

Adio 6080 at -3080.

$$c=3000$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$c=3000,T=3500$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics c a T.

$$c=3000,T=3500$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

I wneud 25c a 11c yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 11 a holl dermau naill ochr yr ail â 25.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

Symleiddio.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

Tynnwch 275c+300T=1875000 o 275c+242T=1672000 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

Adio 275c at -275c. Mae'r termau 275c a -275c yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

Adio 242T at -300T.

$$-58T=1672000-1875000$$

Adio 1672000 at -1875000.

$$-58T=-203000$$

Rhannu’r ddwy ochr â -58.

$$T=3500$$

Cyfnewidiwch 3500 am T yn 11c+12T=75000. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer c yn uniongyrchol.

$$11c+12\times 3500=75000$$

Lluoswch 12 â 3500.

$$11c+42000=75000$$

Tynnu 42000 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$11c=33000$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$c=3000$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$c=3000,T=3500$$