Datrys {l}{22x+y=50}{27x-y=96}

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$22x+y=50$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$22x=-y+50$$

Rhannu’r ddwy ochr â 22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

Lluoswch \frac{1}{22} â -y+50.

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

Amnewid -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} am x yn yr hafaliad arall, 27x-y=96.

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

Lluoswch 27 â -\frac{y}{22}+\frac{25}{11}.

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

Adio -\frac{27y}{22} at -y.

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

Tynnu \frac{675}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{49}{22}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Cyfnewidiwch -\frac{762}{49} am y yn x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

Lluoswch -\frac{1}{22} â -\frac{762}{49} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

Adio \frac{25}{11} at \frac{381}{539} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{146}{49}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

I wneud 22x a 27x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 27 a holl dermau naill ochr yr ail â 22.

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

Symleiddio.

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

Tynnwch 594x-22y=2112 o 594x+27y=1350 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

Adio 594x at -594x. Mae'r termau 594x a -594x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$27y+22y=1350-2112$$

Adio 27y at 22y.

$$49y=1350-2112$$

Adio 1350 at -2112.

$$49y=-762$$

Rhannu’r ddwy ochr â 49.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Cyfnewidiwch -\frac{762}{49} am y yn 27x-y=96. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

Tynnu \frac{762}{49} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$27x=\frac{3942}{49}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 27.

$$x=\frac{146}{49}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$