Datrys {l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=3.8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2.5x+2.5y=17$$

Tynnu \frac{5y}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2.5x=-2.5y+17$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 2.5, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

Lluoswch 0.4 â -\frac{5y}{2}+17.

$$x=-y+6.8$$

Amnewid -y+6.8 am x yn yr hafaliad arall, -1.5x-7.5y=-33.

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

Lluoswch -1.5 â -y+6.8.

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

Adio \frac{3y}{2} at -\frac{15y}{2}.

$$-6y-10.2=-33$$

Adio 10.2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-6y=-22.8$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=3.8$$

Cyfnewidiwch 3.8 am y yn x=-y+6.8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-3.8+6.8$$

Lluoswch -1 â 3.8.

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

Adio 6.8 at -3.8 drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=3.8$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

I wneud \frac{5x}{2} a -\frac{3x}{2} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1.5 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.5.

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

Symleiddio.

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

Tynnwch -3.75x-18.75y=-82.5 o -3.75x-3.75y=-25.5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Adio -\frac{15x}{4} at \frac{15x}{4}. Mae'r termau -\frac{15x}{4} a \frac{15x}{4} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Adio -\frac{15y}{4} at \frac{75y}{4}.

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

Adio -25.5 at 82.5 drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$15y=57$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$y=\frac{19}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{19}{5} am y yn -1.5x-7.5y=-33. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

Lluoswch -7.5 â \frac{19}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

Adio \frac{57}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -1.5, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$