Datrys {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=7$$

$$y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2y-3x=-27$$

Adio 3x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=3x-27$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -27+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

Amnewid \frac{-27+3x}{2} am y yn yr hafaliad arall, 5y+3x=6.

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

Lluoswch 5 â \frac{-27+3x}{2}.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

Adio \frac{15x}{2} at 3x.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

Adio \frac{135}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{21}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=7$$

Cyfnewidiwch 7 am x yn y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

Lluoswch \frac{3}{2} â 7.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

Adio -\frac{27}{2} at \frac{21}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-3,x=7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=-3,x=7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

I wneud 2y a 5y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

Symleiddio.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

Tynnwch 10y+6x=12 o 10y-15x=-135 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

Adio 10y at -10y. Mae'r termau 10y a -10y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-15x-6x=-135-12$$

Adio -15x at -6x.

$$-21x=-135-12$$

Adio -135 at -12.

$$-21x=-147$$

Rhannu’r ddwy ochr â -21.

$$x=7$$

Cyfnewidiwch 7 am x yn 5y+3x=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$5y+3\times 7=6$$

Lluoswch 3 â 7.

$$5y+21=6$$

Tynnu 21 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-3,x=7$$