Datrys {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x_{1} drwy ynysu x_{1} ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Tynnu 3x_{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Amnewid \frac{-3x_{2}+7}{2} am x_{1} yn yr hafaliad arall, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Lluoswch 4 â \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Adio -6x_{2} at -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Tynnu 14 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-10x_{2}=-20$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$x_{2}=2$$

Cyfnewidiwch 2 am x_{2} yn x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x_{1} yn uniongyrchol.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Adio \frac{7}{2} at -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x_{1} a x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

I wneud 2x_{1} a 4x_{1} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Symleiddio.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Tynnwch 8x_{1}-8x_{2}=-12 o 8x_{1}+12x_{2}=28 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Adio 8x_{1} at -8x_{1}. Mae'r termau 8x_{1} a -8x_{1} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Adio 12x_{2} at 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Adio 28 at 12.

$$20x_{2}=40$$

Rhannu’r ddwy ochr â 20.

$$x_{2}=2$$

Cyfnewidiwch 2 am x_{2} yn 4x_{1}-4x_{2}=-6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x_{1} yn uniongyrchol.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Lluoswch -4 â 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x_{1}=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$