Datrys {l}{2x-5y=-21}{3x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = - 21 } \\ { 3 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-3$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-5y=-21$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=5y-21$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-21\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 5y-21.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}$$

Amnewid \frac{5y-21}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x+2y=-3.

$$3\left(\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}\right)+2y=-3$$

Lluoswch 3 â \frac{5y-21}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-3$$

Adio \frac{15y}{2} at 2y.

$$\frac{19}{2}y-\frac{63}{2}=-3$$

Adio \frac{63}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{19}{2}y=\frac{57}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{19}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{2}\times 3-\frac{21}{2}$$

Lluoswch \frac{5}{2} â 3.

$$x=\frac{15-21}{2}$$

Adio -\frac{21}{2} at \frac{15}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-21\right)+\frac{5}{19}\left(-3\right)\\-\frac{3}{19}\left(-21\right)+\frac{2}{19}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-3,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-3$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\left(-21\right),2\times 3x+2\times 2y=2\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$6x-15y=-63,6x+4y=-6$$

Tynnwch 6x+4y=-6 o 6x-15y=-63 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-15y-4y=-63+6$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-15y-4y=-63+6$$

Adio -15y at -4y.

$$-19y=-63+6$$

Adio -63 at 6.

$$-19y=-57$$

Rhannu’r ddwy ochr â -19.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 3x+2y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2\times 3=-3$$

Lluoswch 2 â 3.

$$3x+6=-3$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=3$$