Datrys {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-4y=10$$

Adio 4y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=4y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 4y+10.

$$x=2y+5$$

Amnewid 2y+5 am x yn yr hafaliad arall, 6x-4y=11.

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

Lluoswch 6 â 2y+5.

$$12y+30-4y=11$$

Adio 12y at -4y.

$$8y+30=11$$

Tynnu 30 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$8y=-19$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Cyfnewidiwch -\frac{19}{8} am y yn x=2y+5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

Lluoswch 2 â -\frac{19}{8}.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

Adio 5 at -\frac{19}{4}.

$$x=\frac{1}{4}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Tynnwch 6x-4y=11 o 2x-4y=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

Adio -4y at 4y. Mae'r termau -4y a 4y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2x-6x=10-11$$

Adio 2x at -6x.

$$-4x=10-11$$

Adio 10 at -11.

$$-4x=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{4} am x yn 6x-4y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

Lluoswch 6 â \frac{1}{4}.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

Tynnu \frac{3}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$