Datrys {l}{2x-3y=15}{3x-2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-3y=15$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3y+15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Amnewid \frac{15+3y}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x-2y=10.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}\right)-2y=10$$

Lluoswch 3 â \frac{15+3y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}-2y=10$$

Adio \frac{9y}{2} at -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{45}{2}=10$$

Tynnu \frac{45}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{25}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-5$$

Cyfnewidiwch -5 am y yn x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{2}\left(-5\right)+\frac{15}{2}$$

Lluoswch \frac{3}{2} â -5.

$$x=\frac{-15+15}{2}$$

Adio \frac{15}{2} at -\frac{15}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\times 15+\frac{2}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 10$$

Symleiddio.

$$6x-9y=45,6x-4y=20$$

Tynnwch 6x-4y=20 o 6x-9y=45 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-9y+4y=45-20$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-9y+4y=45-20$$

Adio -9y at 4y.

$$-5y=45-20$$

Adio 45 at -20.

$$-5y=25$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=-5$$

Cyfnewidiwch -5 am y yn 3x-2y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-2\left(-5\right)=10$$

Lluoswch -2 â -5.

$$3x+10=10$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-5$$