Datrys {l}{2x-3y=0}{-x+15y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - x + 15 y = 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-3y=0$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3y$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\times 3y$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 3y.

$$x=\frac{3}{2}y$$

Amnewid \frac{3y}{2} am x yn yr hafaliad arall, -x+15y=3.

$$-\frac{3}{2}y+15y=3$$

Adio -\frac{3y}{2} at 15y.

$$\frac{27}{2}y=3$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{27}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{2}{9}$$

Cyfnewidiwch \frac{2}{9} am y yn x=\frac{3}{2}y. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2}{9}$$

Lluoswch \frac{3}{2} â \frac{2}{9} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{1}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{27}&\frac{2}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 3\\\frac{2}{27}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

I wneud 2x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-2x-\left(-3y\right)=0,2\left(-1\right)x+2\times 15y=2\times 3$$

Symleiddio.

$$-2x+3y=0,-2x+30y=6$$

Tynnwch -2x+30y=6 o -2x+3y=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2x+2x+3y-30y=-6$$

Adio -2x at 2x. Mae'r termau -2x a 2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y-30y=-6$$

Adio 3y at -30y.

$$-27y=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -27.

$$y=\frac{2}{9}$$

Cyfnewidiwch \frac{2}{9} am y yn -x+15y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+15\times \frac{2}{9}=3$$

Lluoswch 15 â \frac{2}{9}.

$$-x+\frac{10}{3}=3$$

Tynnu \frac{10}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-\frac{1}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$