Datrys {l}{2x-3y+13=0}{3x-2y+12=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y + 13 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 12 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-3y+13=0$$

Tynnu 13 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x-3y=-13$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3y-13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-13\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 3y-13.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

Amnewid \frac{3y-13}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x-2y+12=0.

$$3\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-2y+12=0$$

Lluoswch 3 â \frac{3y-13}{2}.

$$\frac{9}{2}y-\frac{39}{2}-2y+12=0$$

Adio \frac{9y}{2} at -2y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{39}{2}+12=0$$

Adio -\frac{39}{2} at 12.

$$\frac{5}{2}y-\frac{15}{2}=0$$

Adio \frac{15}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{13}{2}$$

Lluoswch \frac{3}{2} â 3.

$$x=\frac{9-13}{2}$$

Adio -\frac{13}{2} at \frac{9}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-13\right)+\frac{3}{5}\left(-12\right)\\-\frac{3}{5}\left(-13\right)+\frac{2}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y+3\times 13=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\times 12=0$$

Symleiddio.

$$6x-9y+39=0,6x-4y+24=0$$

Tynnwch 6x-4y+24=0 o 6x-9y+39=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-9y+4y+39-24=0$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-9y+4y+39-24=0$$

Adio -9y at 4y.

$$-5y+39-24=0$$

Adio 39 at -24.

$$-5y+15=0$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5y=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 3x-2y+12=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-2\times 3+12=0$$

Lluoswch -2 â 3.

$$3x-6+12=0$$

Adio -6 at 12.

$$3x+6=0$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=3$$