Datrys {l}{2x-2+4y=1/2}{8(y-1/2)=9(x+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 + 4 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( x + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 2 at y ddwy ochr.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Adio \frac{1}{2} a 2 i gael \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 8 â y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 9 â x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Tynnu 4 o 9 i gael 5.

$$8y-4=9x+5$$

Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$8y-4-9x=5$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$8y-9x=5+4$$

Adio 5 a 4 i gael 9.

$$8y-9x=9$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-4y+\frac{5}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{5}{2}\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -4y+\frac{5}{2}.

$$x=-2y+\frac{5}{4}$$

Amnewid -2y+\frac{5}{4} am x yn yr hafaliad arall, -9x+8y=9.

$$-9\left(-2y+\frac{5}{4}\right)+8y=9$$

Lluoswch -9 â -2y+\frac{5}{4}.

$$18y-\frac{45}{4}+8y=9$$

Adio 18y at 8y.

$$26y-\frac{45}{4}=9$$

Adio \frac{45}{4} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$26y=\frac{81}{4}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 26.

$$y=\frac{81}{104}$$

Cyfnewidiwch \frac{81}{104} am y yn x=-2y+\frac{5}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

Lluoswch -2 â \frac{81}{104}.

$$x=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Adio \frac{5}{4} at -\frac{81}{52} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{4}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 2 at y ddwy ochr.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Adio \frac{1}{2} a 2 i gael \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 8 â y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 9 â x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Tynnu 4 o 9 i gael 5.

$$8y-4=9x+5$$

Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$8y-4-9x=5$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$8y-9x=5+4$$

Adio 5 a 4 i gael 9.

$$8y-9x=9$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 2 at y ddwy ochr.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Adio \frac{1}{2} a 2 i gael \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 8 â y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 9 â x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Tynnu 4 o 9 i gael 5.

$$8y-4=9x+5$$

Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$8y-4-9x=5$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$8y-9x=5+4$$

Adio 5 a 4 i gael 9.

$$8y-9x=9$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

I wneud 2x a -9x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -9 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-9\times 2x-9\times 4y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)x+2\times 8y=2\times 9$$

Symleiddio.

$$-18x-36y=-\frac{45}{2},-18x+16y=18$$

Tynnwch -18x+16y=18 o -18x-36y=-\frac{45}{2} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-18x+18x-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Adio -18x at 18x. Mae'r termau -18x a 18x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Adio -36y at -16y.

$$-52y=-\frac{45}{2}-18$$

Adio -\frac{45}{2} at -18.

$$-52y=-\frac{81}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -52.

$$y=\frac{81}{104}$$

Cyfnewidiwch \frac{81}{104} am y yn -9x+8y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-9x+8\times \frac{81}{104}=9$$

Lluoswch 8 â \frac{81}{104}.

$$-9x+\frac{81}{13}=9$$

Tynnu \frac{81}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-9x=\frac{36}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$x=-\frac{4}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$