Datrys {l}{2x+y=8}{2x+3y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 22 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=8$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Amnewid -\frac{y}{2}+4 am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=22.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+3y=22$$

Lluoswch 2 â -\frac{y}{2}+4.

$$-y+8+3y=22$$

Adio -y at 3y.

$$2y+8=22$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn x=-\frac{1}{2}y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+4$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 7.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

Adio 4 at -\frac{7}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 22\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Tynnwch 2x+3y=22 o 2x+y=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+y-3y=8-22$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y-3y=8-22$$

Adio y at -3y.

$$-2y=8-22$$

Adio 8 at -22.

$$-2y=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn 2x+3y=22. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+3\times 7=22$$

Lluoswch 3 â 7.

$$2x+21=22$$

Tynnu 21 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$