Datrys {l}{2x+y=17}{5x-5y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 17 } \\ { 5 x - 5 y = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=6$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=17$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+17$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+17\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+17.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

Amnewid \frac{-y+17}{2} am x yn yr hafaliad arall, 5x-5y=5.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)-5y=5$$

Lluoswch 5 â \frac{-y+17}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{85}{2}-5y=5$$

Adio -\frac{5y}{2} at -5y.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{85}{2}=5$$

Tynnu \frac{85}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{15}{2}y=-\frac{75}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{15}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{17}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 5.

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

Adio \frac{17}{2} at -\frac{5}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-5}&-\frac{1}{2\left(-5\right)-5}\\-\frac{5}{2\left(-5\right)-5}&\frac{2}{2\left(-5\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{15}\times 5\\\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=6,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

I wneud 2x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$5\times 2x+5y=5\times 17,2\times 5x+2\left(-5\right)y=2\times 5$$

Symleiddio.

$$10x+5y=85,10x-10y=10$$

Tynnwch 10x-10y=10 o 10x+5y=85 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+5y+10y=85-10$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5y+10y=85-10$$

Adio 5y at 10y.

$$15y=85-10$$

Adio 85 at -10.

$$15y=75$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 5x-5y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x-5\times 5=5$$

Lluoswch -5 â 5.

$$5x-25=5$$

Adio 25 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=5$$