Datrys {l}{2x+y=11}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=11$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+11$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+11.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

Amnewid \frac{-y+11}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x-y=9.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)-y=9$$

Lluoswch 3 â \frac{-y+11}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{33}{2}-y=9$$

Adio -\frac{3y}{2} at -y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}=9$$

Tynnu \frac{33}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{5}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{11}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 3.

$$x=\frac{-3+11}{2}$$

Adio \frac{11}{2} at -\frac{3}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 11+\frac{1}{5}\times 9\\\frac{3}{5}\times 11-\frac{2}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 11,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 9$$

Symleiddio.

$$6x+3y=33,6x-2y=18$$

Tynnwch 6x-2y=18 o 6x+3y=33 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+3y+2y=33-18$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y+2y=33-18$$

Adio 3y at 2y.

$$5y=33-18$$

Adio 33 at -18.

$$5y=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 3x-y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-3=9$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=3$$