Datrys {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+9y=19$$

Tynnu 9y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-9y+19$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -9y+19.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

Amnewid \frac{-9y+19}{2} am x yn yr hafaliad arall, 4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

Lluoswch 4 â \frac{-9y+19}{2}.

$$-18y+38+my=53$$

Adio -18y at my.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

Tynnu 38 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(m-18\right)y=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -18+m.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

Cyfnewidiwch \frac{15}{-18+m} am y yn x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

Lluoswch -\frac{9}{2} â \frac{15}{-18+m}.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

Adio \frac{19}{2} at -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

I wneud 2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

Symleiddio.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

Tynnwch 8x+2my=106 o 8x+36y=76 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Adio 36y at -2my.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

Adio 76 at -106.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 36-2m.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

Cyfnewidiwch -\frac{15}{18-m} am y yn 4x+my=53. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

Lluoswch m â -\frac{15}{18-m}.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

Adio \frac{15m}{18-m} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$