Datrys {l}{2x+6y=9}{8x+9y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 6 y = 9 } \\ { 8 x + 9 y = 21 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+6y=9,8x+9y=21$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+6y=9$$

Tynnu 6y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-6y+9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -6y+9.

$$x=-3y+\frac{9}{2}$$

Amnewid -3y+\frac{9}{2} am x yn yr hafaliad arall, 8x+9y=21.

$$8\left(-3y+\frac{9}{2}\right)+9y=21$$

Lluoswch 8 â -3y+\frac{9}{2}.

$$-24y+36+9y=21$$

Adio -24y at 9y.

$$-15y+36=21$$

Tynnu 36 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-15y=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=-3y+\frac{9}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-3+\frac{9}{2}$$

Adio \frac{9}{2} at -3.

$$x=\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+6y=9,8x+9y=21$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\8&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&6\\8&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\8&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-6\times 8}&-\frac{6}{2\times 9-6\times 8}\\-\frac{8}{2\times 9-6\times 8}&\frac{2}{2\times 9-6\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\times 9+\frac{1}{5}\times 21\\\frac{4}{15}\times 9-\frac{1}{15}\times 21\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+6y=9,8x+9y=21$$

I wneud 2x a 8x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 8 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$8\times 2x+8\times 6y=8\times 9,2\times 8x+2\times 9y=2\times 21$$

Symleiddio.

$$16x+48y=72,16x+18y=42$$

Tynnwch 16x+18y=42 o 16x+48y=72 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$16x-16x+48y-18y=72-42$$

Adio 16x at -16x. Mae'r termau 16x a -16x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$48y-18y=72-42$$

Adio 48y at -18y.

$$30y=72-42$$

Adio 72 at -42.

$$30y=30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 30.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 8x+9y=21. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$8x+9=21$$

Tynnu 9 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$