Datrys {l}{2x+6y=21}{9x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 6 y = 21 } \\ { 9 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{41}{20} = 2\frac{1}{20} = 2.05$$

$$y = \frac{169}{60} = 2\frac{49}{60} \approx 2.816666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+6y=21$$

Tynnu 6y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-6y+21$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+21\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -6y+21.

$$x=-3y+\frac{21}{2}$$

Amnewid -3y+\frac{21}{2} am x yn yr hafaliad arall, 9x-3y=10.

$$9\left(-3y+\frac{21}{2}\right)-3y=10$$

Lluoswch 9 â -3y+\frac{21}{2}.

$$-27y+\frac{189}{2}-3y=10$$

Adio -27y at -3y.

$$-30y+\frac{189}{2}=10$$

Tynnu \frac{189}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-30y=-\frac{169}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -30.

$$y=\frac{169}{60}$$

Cyfnewidiwch \frac{169}{60} am y yn x=-3y+\frac{21}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-3\times \frac{169}{60}+\frac{21}{2}$$

Lluoswch -3 â \frac{169}{60}.

$$x=-\frac{169}{20}+\frac{21}{2}$$

Adio \frac{21}{2} at -\frac{169}{20} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{41}{20}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-6\times 9}&-\frac{6}{2\left(-3\right)-6\times 9}\\-\frac{9}{2\left(-3\right)-6\times 9}&\frac{2}{2\left(-3\right)-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 21+\frac{1}{10}\times 10\\\frac{3}{20}\times 21-\frac{1}{30}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{20}\\\frac{169}{60}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

I wneud 2x a 9x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 9 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$9\times 2x+9\times 6y=9\times 21,2\times 9x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

Symleiddio.

$$18x+54y=189,18x-6y=20$$

Tynnwch 18x-6y=20 o 18x+54y=189 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$18x-18x+54y+6y=189-20$$

Adio 18x at -18x. Mae'r termau 18x a -18x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$54y+6y=189-20$$

Adio 54y at 6y.

$$60y=189-20$$

Adio 189 at -20.

$$60y=169$$

Rhannu’r ddwy ochr â 60.

$$y=\frac{169}{60}$$

Cyfnewidiwch \frac{169}{60} am y yn 9x-3y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$9x-3\times \frac{169}{60}=10$$

Lluoswch -3 â \frac{169}{60}.

$$9x-\frac{169}{20}=10$$

Adio \frac{169}{20} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=\frac{369}{20}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{41}{20}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$