Datrys {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+5y=259$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-5y+259$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Amnewid \frac{-5y+259}{2} am x yn yr hafaliad arall, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Lluoswch 199 â \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Adio -\frac{995y}{2} at -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Tynnu \frac{51541}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{999}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Cyfnewidiwch \frac{16429}{333} am y yn x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Lluoswch -\frac{5}{2} â \frac{16429}{333} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Adio \frac{259}{2} at -\frac{82145}{666} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

I wneud 2x a 199x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 199 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Symleiddio.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Tynnwch 398x-4y=2254 o 398x+995y=51541 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Adio 398x at -398x. Mae'r termau 398x a -398x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$995y+4y=51541-2254$$

Adio 995y at 4y.

$$999y=51541-2254$$

Adio 51541 at -2254.

$$999y=49287$$

Rhannu’r ddwy ochr â 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Cyfnewidiwch \frac{16429}{333} am y yn 199x-2y=1127. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Lluoswch -2 â \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Adio \frac{32858}{333} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$