Datrys {l}{2x+5y=24}{4x-7y=-37}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 24 } \\ { 4 x - 7 y = - 37 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+5y=24,4x-7y=-37$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+5y=24$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-5y+24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+24\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -5y+24.

$$x=-\frac{5}{2}y+12$$

Amnewid -\frac{5y}{2}+12 am x yn yr hafaliad arall, 4x-7y=-37.

$$4\left(-\frac{5}{2}y+12\right)-7y=-37$$

Lluoswch 4 â -\frac{5y}{2}+12.

$$-10y+48-7y=-37$$

Adio -10y at -7y.

$$-17y+48=-37$$

Tynnu 48 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-17y=-85$$

Rhannu’r ddwy ochr â -17.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=-\frac{5}{2}y+12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{2}\times 5+12$$

Lluoswch -\frac{5}{2} â 5.

$$x=-\frac{25}{2}+12$$

Adio 12 at -\frac{25}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{2},y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+5y=24,4x-7y=-37$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-5\times 4}&-\frac{5}{2\left(-7\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-7\right)-5\times 4}&\frac{2}{2\left(-7\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{34}&\frac{5}{34}\\\frac{2}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-37\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{34}\times 24+\frac{5}{34}\left(-37\right)\\\frac{2}{17}\times 24-\frac{1}{17}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{1}{2},y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+5y=24,4x-7y=-37$$

I wneud 2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x+4\times 5y=4\times 24,2\times 4x+2\left(-7\right)y=2\left(-37\right)$$

Symleiddio.

$$8x+20y=96,8x-14y=-74$$

Tynnwch 8x-14y=-74 o 8x+20y=96 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+20y+14y=96+74$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$20y+14y=96+74$$

Adio 20y at 14y.

$$34y=96+74$$

Adio 96 at 74.

$$34y=170$$

Rhannu’r ddwy ochr â 34.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 4x-7y=-37. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-7\times 5=-37$$

Lluoswch -7 â 5.

$$4x-35=-37$$

Adio 35 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{2},y=5$$