Datrys {l}{2x+5y=17}{6y=6-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 6 y = 6 - 5 x } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{72}{13} = -5\frac{7}{13} \approx -5.538461538$$

$$y = \frac{73}{13} = 5\frac{8}{13} \approx 5.615384615$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 5x at y ddwy ochr.

$$6y+5x=6$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+5y=17$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-5y+17$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

Amnewid \frac{-5y+17}{2} am x yn yr hafaliad arall, 5x+6y=6.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+6y=6$$

Lluoswch 5 â \frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+6y=6$$

Adio -\frac{25y}{2} at 6y.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{85}{2}=6$$

Tynnu \frac{85}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{13}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{73}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{73}{13} am y yn x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{73}{13}+\frac{17}{2}$$

Lluoswch -\frac{5}{2} â \frac{73}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{365}{26}+\frac{17}{2}$$

Adio \frac{17}{2} at -\frac{365}{26} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 5x at y ddwy ochr.

$$6y+5x=6$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}&\frac{2}{2\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\times 17+\frac{5}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{72}{13}\\\frac{73}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 5x at y ddwy ochr.

$$6y+5x=6$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

I wneud 2x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2\times 6y=2\times 6$$

Symleiddio.

$$10x+25y=85,10x+12y=12$$

Tynnwch 10x+12y=12 o 10x+25y=85 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+25y-12y=85-12$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$25y-12y=85-12$$

Adio 25y at -12y.

$$13y=85-12$$

Adio 85 at -12.

$$13y=73$$

Rhannu’r ddwy ochr â 13.

$$y=\frac{73}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{73}{13} am y yn 5x+6y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+6\times \frac{73}{13}=6$$

Lluoswch 6 â \frac{73}{13}.

$$5x+\frac{438}{13}=6$$

Tynnu \frac{438}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-\frac{360}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$