Datrys {l}{2x+4y=2}{6x+4y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2 } \\ { 6 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+4y=2,6x+4y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+4y=2$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-4y+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -4y+2.

$$x=-2y+1$$

Amnewid -2y+1 am x yn yr hafaliad arall, 6x+4y=4.

$$6\left(-2y+1\right)+4y=4$$

Lluoswch 6 â -2y+1.

$$-12y+6+4y=4$$

Adio -12y at 4y.

$$-8y+6=4$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-8y=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$y=\frac{1}{4}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{4} am y yn x=-2y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times \frac{1}{4}+1$$

Lluoswch -2 â \frac{1}{4}.

$$x=-\frac{1}{2}+1$$

Adio 1 at -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+4y=2,6x+4y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-4\times 6}&-\frac{4}{2\times 4-4\times 6}\\-\frac{6}{2\times 4-4\times 6}&\frac{2}{2\times 4-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 4\\\frac{3}{8}\times 2-\frac{1}{8}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+4y=2,6x+4y=4$$

Tynnwch 6x+4y=4 o 2x+4y=2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-6x+4y-4y=2-4$$

Adio 4y at -4y. Mae'r termau 4y a -4y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2x-6x=2-4$$

Adio 2x at -6x.

$$-4x=2-4$$

Adio 2 at -4.

$$-4x=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am x yn 6x+4y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$6\times \frac{1}{2}+4y=4$$

Lluoswch 6 â \frac{1}{2}.

$$3+4y=4$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4y=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=\frac{1}{4}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4}$$