Datrys {l}{2x+3y=8}{9x+4y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 9 x + 4 y = 14 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{10}{19}\approx 0.526315789$$

$$y = \frac{44}{19} = 2\frac{6}{19} \approx 2.315789474$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=8$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Amnewid -\frac{3y}{2}+4 am x yn yr hafaliad arall, 9x+4y=14.

$$9\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+4y=14$$

Lluoswch 9 â -\frac{3y}{2}+4.

$$-\frac{27}{2}y+36+4y=14$$

Adio -\frac{27y}{2} at 4y.

$$-\frac{19}{2}y+36=14$$

Tynnu 36 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{19}{2}y=-22$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{19}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{44}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{44}{19} am y yn x=-\frac{3}{2}y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{44}{19}+4$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â \frac{44}{19} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{66}{19}+4$$

Adio 4 at -\frac{66}{19}.

$$x=\frac{10}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 9}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 9}\\-\frac{9}{2\times 4-3\times 9}&\frac{2}{2\times 4-3\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 14\\\frac{9}{19}\times 8-\frac{2}{19}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{19}\\\frac{44}{19}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

I wneud 2x a 9x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 9 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$9\times 2x+9\times 3y=9\times 8,2\times 9x+2\times 4y=2\times 14$$

Symleiddio.

$$18x+27y=72,18x+8y=28$$

Tynnwch 18x+8y=28 o 18x+27y=72 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$18x-18x+27y-8y=72-28$$

Adio 18x at -18x. Mae'r termau 18x a -18x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$27y-8y=72-28$$

Adio 27y at -8y.

$$19y=72-28$$

Adio 72 at -28.

$$19y=44$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$y=\frac{44}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{44}{19} am y yn 9x+4y=14. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$9x+4\times \frac{44}{19}=14$$

Lluoswch 4 â \frac{44}{19}.

$$9x+\frac{176}{19}=14$$

Tynnu \frac{176}{19} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=\frac{90}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{10}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$