Datrys {l}{2x+3y=7}{5x+2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 5 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=7$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

Amnewid \frac{-3y+7}{2} am x yn yr hafaliad arall, 5x+2y=1.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+2y=1$$

Lluoswch 5 â \frac{-3y+7}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{35}{2}+2y=1$$

Adio -\frac{15y}{2} at 2y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Tynnu \frac{35}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â 3.

$$x=\frac{-9+7}{2}$$

Adio \frac{7}{2} at -\frac{9}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 2-3\times 5}&\frac{2}{2\times 2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}\times 7-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-1,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

I wneud 2x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7,2\times 5x+2\times 2y=2$$

Symleiddio.

$$10x+15y=35,10x+4y=2$$

Tynnwch 10x+4y=2 o 10x+15y=35 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+15y-4y=35-2$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$15y-4y=35-2$$

Adio 15y at -4y.

$$11y=35-2$$

Adio 35 at -2.

$$11y=33$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 5x+2y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+2\times 3=1$$

Lluoswch 2 â 3.

$$5x+6=1$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=3$$