Datrys {l}{2x+3y=6}{6x+5y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 6 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{3}{8}=-0.375$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=6$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Amnewid -\frac{3y}{2}+3 am x yn yr hafaliad arall, 6x+5y=9.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+5y=9$$

Lluoswch 6 â -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18+5y=9$$

Adio -9y at 5y.

$$-4y+18=9$$

Tynnu 18 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4y=-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$y=\frac{9}{4}$$

Cyfnewidiwch \frac{9}{4} am y yn x=-\frac{3}{2}y+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{4}+3$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â \frac{9}{4} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{27}{8}+3$$

Adio 3 at -\frac{27}{8}.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 6}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 6}\\-\frac{6}{2\times 5-3\times 6}&\frac{2}{2\times 5-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 9\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\\\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

I wneud 2x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\times 5y=2\times 9$$

Symleiddio.

$$12x+18y=36,12x+10y=18$$

Tynnwch 12x+10y=18 o 12x+18y=36 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+18y-10y=36-18$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$18y-10y=36-18$$

Adio 18y at -10y.

$$8y=36-18$$

Adio 36 at -18.

$$8y=18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$y=\frac{9}{4}$$

Cyfnewidiwch \frac{9}{4} am y yn 6x+5y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x+5\times \frac{9}{4}=9$$

Lluoswch 5 â \frac{9}{4}.

$$6x+\frac{45}{4}=9$$

Tynnu \frac{45}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=-\frac{9}{4}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$