Datrys {l}{2x+3y=5}{7x=6-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 6 - 2 y } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{8}{17}\approx 0.470588235$$

$$y = \frac{23}{17} = 1\frac{6}{17} \approx 1.352941176$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 2y at y ddwy ochr.

$$7x+2y=6$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=5$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Amnewid \frac{-3y+5}{2} am x yn yr hafaliad arall, 7x+2y=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y=6$$

Lluoswch 7 â \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}+2y=6$$

Adio -\frac{21y}{2} at 2y.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{35}{2}=6$$

Tynnu \frac{35}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{17}{2}y=-\frac{23}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{17}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{23}{17}$$

Cyfnewidiwch \frac{23}{17} am y yn x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{23}{17}+\frac{5}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â \frac{23}{17} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{69}{34}+\frac{5}{2}$$

Adio \frac{5}{2} at -\frac{69}{34} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{8}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 2y at y ddwy ochr.

$$7x+2y=6$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 5+\frac{3}{17}\times 6\\\frac{7}{17}\times 5-\frac{2}{17}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\\\frac{23}{17}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 2y at y ddwy ochr.

$$7x+2y=6$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

I wneud 2x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\times 2y=2\times 6$$

Symleiddio.

$$14x+21y=35,14x+4y=12$$

Tynnwch 14x+4y=12 o 14x+21y=35 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$14x-14x+21y-4y=35-12$$

Adio 14x at -14x. Mae'r termau 14x a -14x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$21y-4y=35-12$$

Adio 21y at -4y.

$$17y=35-12$$

Adio 35 at -12.

$$17y=23$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$y=\frac{23}{17}$$

Cyfnewidiwch \frac{23}{17} am y yn 7x+2y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x+2\times \frac{23}{17}=6$$

Lluoswch 2 â \frac{23}{17}.

$$7x+\frac{46}{17}=6$$

Tynnu \frac{46}{17} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=\frac{56}{17}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{8}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$