Datrys {l}{2x+3y=5}{7x=4y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{14}{29}\approx 0.482758621$$

$$y = \frac{39}{29} = 1\frac{10}{29} \approx 1.344827586$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 4y o'r ddwy ochr.

$$7x-4y=-2$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=5$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Amnewid \frac{-3y+5}{2} am x yn yr hafaliad arall, 7x-4y=-2.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-2$$

Lluoswch 7 â \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-2$$

Adio -\frac{21y}{2} at -4y.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-2$$

Tynnu \frac{35}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{39}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{29}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{39}{29}$$

Cyfnewidiwch \frac{39}{29} am y yn x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{39}{29}+\frac{5}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â \frac{39}{29} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{117}{58}+\frac{5}{2}$$

Adio \frac{5}{2} at -\frac{117}{58} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{14}{29}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 4y o'r ddwy ochr.

$$7x-4y=-2$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-2\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{29}\\\frac{39}{29}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 4y o'r ddwy ochr.

$$7x-4y=-2$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

I wneud 2x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-2\right)$$

Symleiddio.

$$14x+21y=35,14x-8y=-4$$

Tynnwch 14x-8y=-4 o 14x+21y=35 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$14x-14x+21y+8y=35+4$$

Adio 14x at -14x. Mae'r termau 14x a -14x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$21y+8y=35+4$$

Adio 21y at 8y.

$$29y=35+4$$

Adio 35 at 4.

$$29y=39$$

Rhannu’r ddwy ochr â 29.

$$y=\frac{39}{29}$$

Cyfnewidiwch \frac{39}{29} am y yn 7x-4y=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x-4\times \frac{39}{29}=-2$$

Lluoswch -4 â \frac{39}{29}.

$$7x-\frac{156}{29}=-2$$

Adio \frac{156}{29} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=\frac{98}{29}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{14}{29}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$