Datrys {l}{2x+3y=5}{4x-6y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 4 x - 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{5}{8}=0.625$$

$$y = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=5,4x-6y=-5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=5$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Amnewid \frac{-3y+5}{2} am x yn yr hafaliad arall, 4x-6y=-5.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-6y=-5$$

Lluoswch 4 â \frac{-3y+5}{2}.

$$-6y+10-6y=-5$$

Adio -6y at -6y.

$$-12y+10=-5$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-12y=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -12.

$$y=\frac{5}{4}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{4} am y yn x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{5}{4}+\frac{5}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â \frac{5}{4} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{15}{8}+\frac{5}{2}$$

Adio \frac{5}{2} at -\frac{15}{8} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{5}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{8},y=\frac{5}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=5,4x-6y=-5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-6\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-6\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-6\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\left(-5\right)\\\frac{1}{6}\times 5-\frac{1}{12}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{5}{8},y=\frac{5}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=5,4x-6y=-5$$

I wneud 2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 5,2\times 4x+2\left(-6\right)y=2\left(-5\right)$$

Symleiddio.

$$8x+12y=20,8x-12y=-10$$

Tynnwch 8x-12y=-10 o 8x+12y=20 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+12y+12y=20+10$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12y+12y=20+10$$

Adio 12y at 12y.

$$24y=20+10$$

Adio 20 at 10.

$$24y=30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 24.

$$y=\frac{5}{4}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{4} am y yn 4x-6y=-5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-6\times \frac{5}{4}=-5$$

Lluoswch -6 â \frac{5}{4}.

$$4x-\frac{15}{2}=-5$$

Adio \frac{15}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{5}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{5}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{8},y=\frac{5}{4}$$