Datrys {l}{2x+3y=5}{4x+3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 4 x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=5$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Amnewid \frac{-3y+5}{2} am x yn yr hafaliad arall, 4x+3y=7.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=7$$

Lluoswch 4 â \frac{-3y+5}{2}.

$$-6y+10+3y=7$$

Adio -6y at 3y.

$$-3y+10=7$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3y=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Adio \frac{5}{2} at -\frac{3}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-3\times 4}&\frac{2}{2\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 7\\\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

Tynnwch 4x+3y=7 o 2x+3y=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-4x+3y-3y=5-7$$

Adio 3y at -3y. Mae'r termau 3y a -3y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2x-4x=5-7$$

Adio 2x at -4x.

$$-2x=5-7$$

Adio 5 at -7.

$$-2x=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=1$$

Cyfnewidiwch 1 am x yn 4x+3y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$4+3y=7$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$