Datrys {l}{2x+3y=2}{4x+16y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 4 x + 16 y = 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} = 1.15$$

$$y=-\frac{1}{10}=-0.1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=2$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Amnewid -\frac{3y}{2}+1 am x yn yr hafaliad arall, 4x+16y=3.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+16y=3$$

Lluoswch 4 â -\frac{3y}{2}+1.

$$-6y+4+16y=3$$

Adio -6y at 16y.

$$10y+4=3$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$10y=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$y=-\frac{1}{10}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{10} am y yn x=-\frac{3}{2}y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{10}\right)+1$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â -\frac{1}{10} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{3}{20}+1$$

Adio 1 at \frac{3}{20}.

$$x=\frac{23}{20}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{2\times 16-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 16-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 16-3\times 4}&\frac{2}{2\times 16-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 2-\frac{3}{20}\times 3\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{10}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{20}\\-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

I wneud 2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 2,2\times 4x+2\times 16y=2\times 3$$

Symleiddio.

$$8x+12y=8,8x+32y=6$$

Tynnwch 8x+32y=6 o 8x+12y=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+12y-32y=8-6$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12y-32y=8-6$$

Adio 12y at -32y.

$$-20y=8-6$$

Adio 8 at -6.

$$-20y=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -20.

$$y=-\frac{1}{10}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{10} am y yn 4x+16y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+16\left(-\frac{1}{10}\right)=3$$

Lluoswch 16 â -\frac{1}{10}.

$$4x-\frac{8}{5}=3$$

Adio \frac{8}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{23}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{23}{20}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$