Datrys {l}{2x+3y=19}{4x+11y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 19 } \\ { 4 x + 11 y = 53 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=19$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+19$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+19\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+19.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}$$

Amnewid \frac{-3y+19}{2} am x yn yr hafaliad arall, 4x+11y=53.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}\right)+11y=53$$

Lluoswch 4 â \frac{-3y+19}{2}.

$$-6y+38+11y=53$$

Adio -6y at 11y.

$$5y+38=53$$

Tynnu 38 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{19}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â 3.

$$x=\frac{-9+19}{2}$$

Adio \frac{19}{2} at -\frac{9}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2\times 11-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 11-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 11-3\times 4}&\frac{2}{2\times 11-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}&-\frac{3}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}\times 19-\frac{3}{10}\times 53\\-\frac{2}{5}\times 19+\frac{1}{5}\times 53\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=5,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

I wneud 2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 19,2\times 4x+2\times 11y=2\times 53$$

Symleiddio.

$$8x+12y=76,8x+22y=106$$

Tynnwch 8x+22y=106 o 8x+12y=76 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+12y-22y=76-106$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12y-22y=76-106$$

Adio 12y at -22y.

$$-10y=76-106$$

Adio 76 at -106.

$$-10y=-30$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 4x+11y=53. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+11\times 3=53$$

Lluoswch 11 â 3.

$$4x+33=53$$

Tynnu 33 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=3$$