Datrys {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=38$$

$$y=-22$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=10$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Amnewid -\frac{3y}{2}+5 am x yn yr hafaliad arall, 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

Lluoswch 4 â -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20+5y=42$$

Adio -6y at 5y.

$$-y+20=42$$

Tynnu 20 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=22$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=-22$$

Cyfnewidiwch -22 am y yn x=-\frac{3}{2}y+5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â -22.

$$x=33+5$$

Adio 5 at 33.

$$x=38$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=38,y=-22$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=38,y=-22$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

I wneud 2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Symleiddio.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Tynnwch 8x+10y=84 o 8x+12y=40 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12y-10y=40-84$$

Adio 12y at -10y.

$$2y=40-84$$

Adio 40 at -84.

$$2y=-44$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=-22$$

Cyfnewidiwch -22 am y yn 4x+5y=42. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

Lluoswch 5 â -22.

$$4x-110=42$$

Adio 110 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=152$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=38$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=38,y=-22$$