Datrys {l}{2x+3y=10}{3x+4y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 3 x + 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=10$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Amnewid -\frac{3y}{2}+5 am x yn yr hafaliad arall, 3x+4y=15.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+4y=15$$

Lluoswch 3 â -\frac{3y}{2}+5.

$$-\frac{9}{2}y+15+4y=15$$

Adio -\frac{9y}{2} at 4y.

$$-\frac{1}{2}y+15=15$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{2}y=0$$

Lluosi’r ddwy ochr â -2.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=-\frac{3}{2}y+5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 10+3\times 15\\3\times 10-2\times 15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=5,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 10,2\times 3x+2\times 4y=2\times 15$$

Symleiddio.

$$6x+9y=30,6x+8y=30$$

Tynnwch 6x+8y=30 o 6x+9y=30 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+9y-8y=30-30$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-8y=30-30$$

Adio 9y at -8y.

$$y=30-30$$

Adio 30 at -30.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn 3x+4y=15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=0$$